Álgebra: Álgebra Parcial 2: 04 Factorización

Álgebra Parcial 2: 04 Factorización

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Factorización

La factorización o descomposición factorial es el proceso de presentar una expresión matemática o un número en forma de multiplicación. Recordemos que los factores son los elementos de la multiplicación y el resultado se conoce como producto.

https://www.youtube.com/watch?v=sSfO1CsKJ4g

Tipos de factorización

En líneas generales, podemos hablar de dos tipos de factorización: la factorización de números enteros y la factorización de expresiones algebraicas.

Factorización en números primos

Todo número entero se puede descomponer en sus factores primos. Un número primo es aquel que es divisible unicamente entre 1 y el mismo. Por ejemplo, el 2 solo se puede dividir entre 1 y 2.

Podemos descomponer un número dado X como la multiplicación de sus factores primos. Por ejemplo, el número 525 es igual a la multiplicación de 5².3.7.

Factorización de expresiones algebraicas

El objetivo de la factorización es llevar un polinomio complicado y expresarlo como el producto de sus factores polinomiales simples.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión. Por ejemplo:

Los factores son:

Cómo factorizar

Cuando hablamos de factorizar, podemos seguir las siguientes recomendaciones:

Observar si hay un factor común, esto es, si hay un factor que se repita en los diferentes términos.
Ordenar la expresión: a veces al arreglar la expresión nos percatamos de las posibilidades de factorización.
Averiguar si la expresión es factorizable: en ocasiones estamos en presencia de expresiones que no pueden ser descompuestas en factores.
Verificar si los factores hallados son a su vez factorizables.

Pasos para hallar el factor común de un polinomio

Vamos a explicar paso a paso cómo encontrar el factor común para los términos en el siguiente polinomio:

Paso 1

Conseguimos el mayor factor común de 24 y 16. Los factores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24; los factores del 16 son 1, 2, 4, 8 y 16. El mayor factor común es el 8.

Paso 2

Conseguimos los factores comunes de las variables, en este caso las variables comunes con la mayor potencia común. La variables comunes son x y y. La mayor potencia común de x es x⁶ y la mayor potencia común de y es y³.

Paso 3

Escribimos el factor común del polinomio como como el producto de los pasos 1 y 2 anteriores:

Factorización de polinomios

Vamos a factorizar el siguiente polinomio:

Paso 1

Determinamos el factor común del polinomio:

Paso 2

Reescribimos cada término del polinomio como un producto equivalente del factor común y el segundo factor:

Nota: 8x⁶y³(3x²)- 8x⁶y³(2y⁴z³) no es la forma factorizada porque aún no están separados los factores.

Paso 3

Usamos la propiedad distributiva para sacar el factor común:

Paso 4

Revisamos los pasos realizados:

Factorización cuatro términos

Podemos factorizar un polinomio de cuatro términos agrupándolos en pares. Veamos el siguiente ejemplo:

Paso 1

Rearreglamos los términos tal que los dos primeros tengan un factor común y los otros dos tengan también un factor común:

Paso 2

Factorizamos la x del primer término y la y como factor común del segundo término:

Paso 3

Usamos la propiedad distributiva para factorizar el término (a+b) de la expresión:

Factorizar una ecuación cuadrática

Cuando tenemos un polinomio de tres términos, este puede ser un trinomio cuadrático de la forma ax²+bx+c. Esta expresión se obtiene de la multiplicación de dos binomios:

Al factorizar una ecuación cuadrática como x²+9x+14, lo que queremos es conseguir los dos binomios que lo originaron: (x+7)(x+2).

Factorizar una ecuación cuadrática por ensayo y error

Para la expresión 4x²-11x-3 buscamos dos factores binomios. 4x² es el primer término, asi que la multiplicación de los primeros coeficientes numéricos de los binomios debe ser 4. El último término es -3, asi los últimos términos de los factores tienen signos diferentes cuyo producto es -3. Podemos probar varias combinaciones:

Esta opción es incorrecta.

Esta es la opción correcta.

Factorizar una ecuación cuadrática por agrupamiento

Para factorizar por agrupamiento, identificamos los coeficientes a, b y c y buscamos dos factores ac cuya suma es b. Por ejemplo, para la ecuación 4x²-11x-3, los coeficientes son a=4, b=-11 y c=-3.

Los factores ac=(4)(-3)=-12. Dos factores de -12 que sumados dan -11 son -12 y 1.

Ahora reemplazamos el término medio de 4x²-11x-3 con -12x+1x.