Álgebra: Parcial 2: 03 Productos notables

  

Álgebra Parcial 2:  03 

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Productos notables

Introducción

La frase Producto Notable, en Matemáticas, se refiere al resultado de una multiplicación (producto) que se hace con mucha frecuencia (notable).

En Álgebra tenemos varios productos notables, como por ejemplo la multiplicación un binomio cualquiera por sí mismo, o lo que es lo mismo, el elevar al cuadrado un binomio cualquiera; lo que da como producto el Trinomio Cuadrado Perfecto. Algunos productos notables son la multiplicación de dos binomios conjugados, que da como producto una diferencia de cuadrados; la multiplicación de dos binomios que tienen un término en común, que da como producto un trinomio cuadrado imperfecto; entre otros.

Los productos notables son productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Estas operaciones son fáciles de recordar sin necesidad de efectuar la multiplicación correspondiente.

1. Cuadrado de la suma de dos cantidades

Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya suma está elevada al cuadrado, lo que realmente se pide es que se multiplique la suma por si misma:

Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:

Regla del cuadrado de la suma de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Representación gráfica del cuadrado de la suma de dos cantidades

El cuadrado de la suma de a y b se representa como un cuadrado compuesto por los cuadrados de a y de b y dos rectángulos cuyos lados son a y b.

Podemos representar gráficamente el cuadrado de la suma de dos cantidades cuando los valores son positivos. Así, la suma de dos cantidades positivas al cuadrado será igual a la suma de:

• un cuadrado con sus lados iguales a la primera cantidad;
• un cuadrado con sus lados iguales a la segunda cantidad, y
• dos rectángulos cuyos lados son iguales a la primera y la segundad cantidad.

Como podemos ver, el cuadrado resultante tendrá un área igual a (a+b) por (a+b)= (a+b)²

Ejemplos con solución paso a paso

1) Desarrolle (x+10)².

• Cuadrado del primer término: x².
• Dos veces el primero por el segundo: 2(x)(10)=20x.
• Cuadrado del segundo término: 10²=100.

Respuesta:

2) Desarrolle (7a²+5x³)².

• Cuadrado del primer término: 7²(a²)²=49a⁴.
• Dos veces el primero por el segundo: 2(7a²)(5x³)= 70a²x³.
• Cuadrado del segundo término: (5)²(x³)²=25x⁶.

Respuesta:

2. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya resta está elevada al cuadrado, lo que realmente se pide es que se multiplique la resta por si misma:

Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:

Recordemos que dos números negativos cuando se multiplican, el signo resultante es positivo:

Regla del cuadrado de la resta de dos cantidades

El cuadrado de la resta de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos dos veces el primer término por el segundo término, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplos con solución paso a paso

1) Desarrolle (x-10)².

• Cuadrado del primer término: x².
• Menos dos veces el primero por el segundo:- 2(x.10)=-20x.
• Cuadrado del segundo término: 10²=100

Respuesta:

2) Desarrolle (7a²-5x³)².

• Cuadrado del primer término: 7²(a²)²=49a⁴.
• Menos dos veces el primero por el segundo: -2(7a²)(5x³)= -70a²x³.
• Cuadrado del segundo término: (5)²(x³)²=25x⁶.

Respuesta:

3. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (binomios conjugados)

En este caso, la multiplicación se realiza de la siguiente forma;

Regla del producto de la suma por la resta de dos cantidades

La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.

Ejemplos con solución paso a paso

1) Desarrolle (x+1)(x-1).

• Cuadrado del minuendo: x².
• Menos el cuadrado del sustraendo: -(1²)=-1

Respuesta:

2) Desarrolle (5a+3a²)(3a²-5a).

• Cuadrado del minuendo: (3a²)²=9a⁴
• Menos el cuadrado del sustraendo: -(5²a²)=-25a²

Respuesta:

4. Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c)(a+b-c)

Este producto lo podemos transformar en la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia:

Ejemplos de multiplicación de trinomios

1) Desarrolle (x+y-2)(x+y+2).

2) Desarrolle (a²-2a+3)(a²+2a+3).

5. Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c)(a-b-c)

En este caso se realiza lo siguiente:

• los términos negativos del trinomio se agrupan en paréntesis con el signo negativo delante, por lo que estos términos negativos pasan a ser positivos.
• Luego en el trinomio de las sumas se agrupan los mismos términos.

Esto queda de la siguiente forma:19

Ahora se puede desarrollar como un producto de la suma por la resta de dos cantidades:

Ejemplos de multiplicación de trinomios con números negativos

1) Desarrolle (x+y+z)(x-y-z).

2) Desarrolle (x³-x²-x)(x³+x²+x).

6. Cubo de la suma de dos cantidades

En el cubo de un binomio tenemos lo siguiente:

Podemos desarrollar el cuadrado de la suma y luego multiplicarlo por (a+b):

Regla del cubo de la suma de un binomio

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, más 3 seguido del cuadrado del primero por el segundo, más 3 seguido del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Ejemplos con solución paso a paso

1) Desarrolle (a+2)³.

• Cubo del primer término: a³.
• Triple del cuadrado del primero por el segundo: 3a²2=6a².
• Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(a)(2)²=12a.
• Cubo del segundo término: 2³=8.

Respuesta:

2) Desarrolle (3+y²)³.

• Cubo del primer término: 3³=27.
• Triple del cuadrado del primero por el segundo: 3(3)²y²=27y².
• Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(3)(y²)²=9y⁴.
• Cubo del segundo término: (y²)³=y⁶.

Respuesta:

7. Cubo de la resta de dos cantidades

En el cubo de un binomio con una resta tenemos lo siguiente:

Podemos desarrollar el cuadrado de la resta y luego multiplicarlo por (a-b):

Regla del cubo de la resta de un binomio

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo del primer término, menos el triple del cuadrado de la primera por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

Ejemplos con soluciones paso a paso

1) Desarrolle (x-2)³.

• Cubo del primer término: x³.
• Menos el triple del cuadrado del primero por el segundo: -3(x)²2=-6x².
• Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(x)(2²)=12x.
• Menos el cubo del segundo término: -(2³)=-8.

Respuesta:

2) Desarrolle (a²-2b)³.

• Cubo del primer término: (a²)³=a⁶.
• Menos el triple del cuadrado del primero por el segundo: -3(a²)²(2b)=-6a⁴b.
• Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(a²)(2b)²=12a²b².
• Menos el cubo del segundo término: -(2b)³=-8b³.

Respuesta:

8. Producto de dos binomios con tres cantidades diferentes

Primer caso

Segundo caso

Tercer caso

Regla del producto de dos binomios con tres cantidades diferentes

El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios; en el segundo término del producto, el coeficiente es la suma o resta de los segundos términos de cada binomio y la x está elevada a la mitad del exponente que tiene la x en el primer término; el tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.

Ejemplos con solución paso a paso

1) Desarrolle (x+7)(x+2).

• Producto de los primeros términos de los binomios: (x)(x)=x².
• Suma de los segundos términos por el primer término: (7+2)x=9x.
• Producto de los segundos términos de los binomios: (7)(2)=14.

Respuesta:

2) Desarrolle (x+5)(x-2).

• Producto de los primeros términos de los binomios: (x)(x)=x².
• Suma de los segundos términos por el primer término: [(5)+(-2)]x=3x.
• Producto de los segundos términos de los binomios: (5)(-2)=-10.

3) Desarrolle (x-10)(x-5).

• Producto de los primeros términos de los binomios: (x²)(x)=x³.
• Suma de los segundos términos por el primer término: [(-10)+(-5)]x=-15x.
• Producto delos segundos términos de los binomios: (-10)(-5)=50.

Respuesta:

Videos de apoyo:

Conceptos previos

Productos Notables

ACTIVIDAD 3

Los estudiantes individualmente realizaran un resumen en la libreta de apuntes y en equipo de 5, realizaran  una presentación (PowerPoint o Prezzi) para exposición y resolverán los ejercicios del siguiente link:

NOTA:

Por medio de la plataforma schoology, enviaran las actividades:

1.   Seguir instrucciones del video:

Agregar al grupo y curso

Código de acceso al grupo:

Da click al grupo que te corresponda:

1AM - KQ6Z-ZZG9-M5RDM

1BM - Q3D3-S2B2-KNDRV

1CM - V2GD-7JG4-8M3NH

1DM - NPJX-X8SJ-76V86

CODIGO DEL CURSO

1AM - RZFJ-9P8T-ZR83F

1BM - HJ9S-S7DP-F3CTM

1CM - JDBB-7S3Q-PKKX8

1DM - 3QCB-T89P-WC5X2

2. El archivo o documento que enviaran tendrá la siguiente nomenclatura: 

Grupo_Actividad#_PrimerApellido_PrimerNombre. 

     Es ejemplo:  1ZM_Actividad1_Ponce_Juan

"NO PONER MIS DATOS, SON LOS DE USTEDES"

    Este archivo debe estar en formato .pdf y fecha limite de entrega Domingo 8/11/2020 11:00 pm.

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