Álgebra Parcial 3: Ecuaciones lineales con tres incógnitas o 3x3

 

Álgebra Parcial 3:  Ecuación Lineal

Link de clases virtuales:

Da click al grupo que te corresponda:

1AM 

1BM 

1CM 

1 DM

ECUACIONES LINEALES CON TRES INCOGNITAS

Sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas

Se pueden interpretar estos sistemas como un conjunto de tres planos en el espacio real tridimensional R3. En algunos casos no habrá solución, en otros habrá infinitas (una línea de puntos solución) y en otros habrá una única solución.

Método de Reducción

Para resolver este tipo de sistemas se aplicará reducción, de forma que cada ecuación tenga una incógnita menos que la anterior. Por ello, se utilizará el método de Gauss.Resolver:

Resolver:

3x+2y+z=1

5x+3y+4z=2

x+y−z=1

 

1) Se coloca como primera ecuación la que tenga 1 o −1 como coeficiente de x.

Si no hubiera ninguna se pone como primera ecuación la que tenga y o z con coeficiente 1 o −1, y se cambia el orden de las variables. O también podemos dividir la primera ecuación por el coeficiente de x.

x+y−z=1

3x+2y+z=1

5x+3y+4z=2

2) Se utiliza el método de reducción para las ecuaciones 1 y 2 (E1 y E2), con el objetivo de eliminar la variable x de la segunda ecuación:

E2′=E2−3⋅E1

     3x+2y+z=1

+−3x−3y+3z=−3      

        −y+4z=−2

3) Se repite el mismo procedimiento con E1 y E3, para eliminar la variable x de E3:

E3′=E3−5⋅E1

     5x+3y+4z=2

+−5x−5y+5z=−5       

         −2y+9z=−3

4) Con las nuevas ecuaciones 2 y 3 (E2′ y E3′) se utiliza el mismo procedimiento para eliminar la variable y de E3′:

E3′′=E3′−2⋅E2′

   −2y+9z=−3   

  + 2y−8z=4           

                z=1

5) Así pues, el sistema escalonado equivalente al del enunciado es:

  x+y−z=1

−y+4z=−2

            z=1

6) Se resuelve desde la tercera ecuación hasta la primera:

E3:z=1

E2:−y+4=−2⇒y=6

E1:x+6−1=1⇒x=−4

Es decir, los tres planos cortan en un sólo punto (−4,6,1).

Método de sustitución: Despejamos una incógnita  (alguna, si hay, que tenga coeficiente unidad) de cualquiera de las ecuaciones; sustituimos el valor de esa incógnita en las otras dos ecuaciones y reordenamos términos, quedando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Observamos el sistema por si alguna ecuación tuviera despejada una de sus incógnitas; si ocurre nos han hecho parte del trabajo y la reemplazamos en las otras dos, formando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en la que ya no existe la incógnita despejada. Si al reemplazar en las otras dos ecuaciones no existe dicha incógnita, tomamos la ecuación tal como está. Estas circunstancias se estudian con ejemplos.

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema:    
Despejamos  x  de la 2ª  ecuación:  x = 2z – y – 2

Sustituyendo el valor de x en las otras dos, resulta un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas     
Quitando paréntesis y ordenando se obtiene:       => y =3z – 3
Entrando con el valor de y en la 1ª ecuación: –5(3z – 3) + 8z = 15 => –15z +15 + 8z = 15  =>  z = 0
Sustituyendo  (con z = 0) en  y = 3z – 3 => y = 3·0 –3 = –3
Puesto que  x = 2z – y – 2  => x = 2·0 –(–3) – 2 = 1.   Solución:  x = 1; y = –3; z = 0

Método de Igualación

Consiste este método en hallar el valor de la misma incógnita, en función de otra, en ambas ecuaciones, e igualamos los resultados.

Pasos para resolver este método.

 

• Despejamos a x en ambas ecuaciones.
• 4x-6y = -20
• 2x+4y = 32
• 4x-6y = -20 2) 2x+4y = 32

 

X = 20+6y X = 32-4y

4 2

 

• Igualamos los valores de las dos X y multiplicamos por el dividiendo de cada uno en viceversa.

 

-20+6y = 32-4y 2(-20+6y) = 4(32-4y)

4 2 -40+12y =128-16y

 

• Agrupamos los términos semejantes y factorizamos hasta encontrar a Y.

 

-40+12y = 128-16y

16y+12y = 128+40

28y = 168

28 28

Y = 6

 

• Para encontrar a X, cojeemos una de las ecuaciones y sustituimos la letra correspondiente ósea Y por su valor encontrado, luego multiplicamos, agrupamos términos y factorizamos.

 

2x+4y =32

2x+4(6) = 32

2x+24 = 32

2x = 32-24

2x = 8

2 2

X = 4

Conj. Solución es (6,4)

Actividad No. 3

A continuación darás click en cada uno de siguientes link que te mostrara los temas en video y realizaras en tu cuaderno cada uno de los ejercicios de los siguientes videos.

Ecuación lineal con tres incógnitas o 3x3

Videos:

• Sistemas de ecuaciones 3x3 │ método por determinantes
• Determinantes (sistemas lineales 3x3)
• Sistemas de ecuaciones 3x3│método de eliminación
• Sistemas de ecuaciones 3x3 │ método de igualación
• Problemas de sistemas lineales 3x3

N O T A:

1. -El archivo o documento que enviaran tendrá la siguiente nomenclatura: 

Grupo_Actividad#_PrimerApellido_PrimerNombre. 

     Es ejemplo:  1ZM_Actividad1_Ponce_Juan

"NO PONER MIS DATOS, SON LOS DE USTEDES"

    Este archivo debe estar en formato .pdf y fecha limite de entrega Lunes 7/12/2020 11:59 pm.

Enviar tarea en schoology