Álgebra: Álgebra Parcial 01:

Álgebra: Parcial 1

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Introducción al álgebra

Se conoce que desde la antigüedad, de acuerdo con pinturas rupestres, jeroglíficos, pergaminos, entre otros, que el concepto de número surgió por la necesidad práctica de contar objetos, inicialmente se contaba con la ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras, nudos, marcas, posteriormente debido a la agrupación de objetos con características semejantes surge el concepto de conjunto, el cual se utilizó para realizar sumas, restas en forma gráfica, lo que permitió crear las bases para la creación de las operaciones aritméticas, dando origen a la palabra cálculo que se deriva de la palabra latina calculus, que significa ”contar con piedras”.

Los números surgen por necesidades sociales, para calcular y medir cantidades de objetos para diversas indoles.

Algebra palabra de origen árabe que significa reducción, esto comenzó en Egipto y Babilonia, ellos fueron capaces de resolver ecuaciones lineales y cuadran ticas. Un avance importante en el Algebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. La contribución ms importante de descartes a las matemáticas fue el descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos.

Para trabajar el algebra son necesarios conocimientos de números enteros y racionales, se puede restar o sumar términos semejantes, multiplicar expresiones algebraicas y simplificarlas.

El algebra tiene símbolos números y letras que se presentan en diversas operaciones, Además de que cada termino algebraico tiene un exponente, coeficiente, grado, signo y una parte literal.

Uso de variables y expresiones algebraicas en el contexto de los números positivos y reales.

Antes de iniciar con el tema veamos conceptos fundamentales:

Números positivos: Se representan a la derecha del cero y los negativos a su izquierda. Esta representación en la recta numérica nos sirve para poder comparar números enteros: Es mayor el número colocado más a la derecha de la recta numérica. Por ejemplo +2 es mayor que -1.

Números reales: Son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales, es decir, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real.

Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.

Los números reales se representan mediante la letra R ↓

Expresiones algebraicas

Álgebra Rama de las matemáticas que trata a las cantidades de manera general.

Expresiones algebraicas Se conoce así a la combinación de números reales (constantes) y literales o letras (variables) que representan cantidades, mediante operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación, etcétera.

Término algebraico Es una expresión compuesta por números concretos y letras que también representan números relacionados entre sí mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación. A todo término algebraico se le denomina monomio y consta de: coeficiente, base(s) y exponente(s).

Elementos de un término algebraico

Los elementos de un termino son:

 El signo

 El coeficiente o variable.

 La parte literal

 Exponente

Signo: respecto al signo de un término, será negativo si le precede el signo menos (-) y positivo si le precede el signo más (+).

Coeficiente o variable numérica: si un término algebraico es el producto de un número concreto por uno o más numérico literales, dicho número es su coeficiente numérico.

Literal: la parte literal la constituyen las letras del término algebraico con sus respectivos exponentes

Exponentes: Es la operación en la cual la cantidad llamada base se debe multiplicar por ella misma las veces que lo indique el exponente

Ejemplos:

Grado de un término: es la suma de los exponentes de sus factores literales.

Términos semejantes. Son los que tiene la misma parte literal, es decir, tienen las mismas letras afectadas de iguales exponentes.

Reducción de términos semejantes Esta operación consiste en sustituir dos o más términos semejantes por uno solo, que resulta de la suma o resta algebraica de sus coeficientes numéricos multiplicados por su parte literal.

En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes.

Por ejemplo:

6 a²b³es término semejante con – 2 a²b³ porque ambos tienen el mismo factor literal (a²b³)

1/3 x⁵yz es término semejante con x⁵yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x⁵yz)

0,3 a²c no es término semejante con 4 ac² porque los exponentes no son iguales, están al revés.

Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal.

Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva el factor literal.

Actividad 1 y 2 de repaso. DESCARGAR

Notación y representación algebraica de expresiones en lenguaje común

¿Qué es el lenguaje algebraico?

El lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números lo que normalmente conocemos como lenguaje natural. De esta forma se pueden manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir, lo que permite simplificar expresiones, formular ecuaciones e inecuaciones y permite el estudio de cómo resolverlas.

¿Para que sirve el lenguaje algebraico?

El lenguaje algebraico es utilizado para la representación de valores desconocidos, la principal función es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética. Ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir x + y.

Características del lenguaje algebraico.

El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos expresar enunciados de una forma más breve.
El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numéricas de carácter general.
Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos operaciones aritméticas con ellos.

El lenguaje común es el que comúnmente utilizamos a través de un denominado código o lenguaje, por lo que a partir de este podemos relacionarnos mutuamente, ya que lo ocupamos en la vida diaria.

Como por ejemplo:

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2.

Un tercio de un número: x/3.

Un cuarto de un número: x/4.

Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..

Un número al cuadrado: x2

Un número al cubo: x3

Dos números consecutivos: x y x + 1.

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.

La suma de dos números es 24: x y 24 − x.

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.

El producto de dos números es 24: x y 24/x.

El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.

Actividad 3 de repaso. DESCARGAR

Tipos de expresiones algebraicas

Monomio
Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término.

Binomio
Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos.

Trinomio
Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos.

Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un término.

Interpretación de expresiones algebraicas

¿Para que sirven las expresiones algebraicas?

Las expresiones algebraicas sirven para indicar pasos a seguir, te dicen que hacer (multiplicar, sumar, restar, dividir, etc.) Como debes de interpretarlas es utilizando variables como pueden ser literales (X, Y, Z, etc.) Ejemplo:

Repartir $300 entre alma, patricia, y Yadira de modo que la parte de patricia sea el doble que la de alma y la de Yadira sea el triple de la de Ana.

Aquí a partir de ese problema lo interpretamos de la siguiente manera:

Tenemos $300 los cuales deben ser repartidos entre 3 personas en cantidades diferentes, pero la suma de estas nos darán los $300 pesos entonces se puede decir que Alma tiene una cantidad X de dinero, patricia tiene el doble de alma 2(X) y Yadira el triple 3(X)

Entonces:

X+2X+3X=300
6X=300
X=50

Alma= $50
Patricia = $100
Yadira = $150

La suma de estos nos dan los $300 entonces quiere decir que la ecuación y expresiones están bien interpretadas.

Ejemplos de lenguaje común a lenguaje algebraico
a+b: la suma de dos números o la adición de dos números
a-b: la resta de dos números o la diferencia de dos números
a*b: el producto de dos números
a/b: el cociente de dos números
2a: el doble de un numero
3(a+b): el triple de la adición de dos números
x/2: la mitad de un numero
(a-b) / 3: la tercera parte de la diferencia de dos números
a^2: el cuadrado de un numero
b^3: el cubo de un numero

Actividad 4 de repaso. DESCARGAR

Evaluación numérica de expresiones algebraicas

La evaluación de una expresión algebraica consiste en sustituir el o los valores proporcionados de las variables, para encontrar el valor numérico de la expresión.

Es importante considerar al evaluar una expresión algebraica alguno de los siguientes conceptos:

	El signo del resultado será el signo del número con mayor valor absoluto.	- 9 + 7 = - 2 9 - 7 = +2
	Si los signos de los dos números son iguales, el resultado tiene el signo que lleven los números.	9 + 7 = 16 -9 - 7 = -16
	La multiplicación de números con signos diferentes da resultado negativo ( - ).	( + ) ( - ) = - ( - ) ( + ) = -
	La multiplicación de números con signos iguales da resultado positivo (+).	( - ) ( - ) = + ( + ) ( + ) = +

Valor numérico de una expresión algebraica

El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas. Se trata de una simple sustitución de números por letras para después hacer los cálculos indicados por la expresión y obtener así un resultado:

Ejemplo:

Dada la expresión:

Lenguaje Algebraico

Actividad 5 de repaso. DESCARGAR

IMPORTANTE VER ESTOS VIDEOS:

LEY DE LOS SIGNOS

LEY DE LOS EXPONENTES

Operaciones fundamentales algebraicas

Adición de expresiones algebraicas

Ahora para el caso de la suma, se pone como ejemplo las siguientes expresiones:

5x²-7xy+11y²+4y y 2x²+3xy-6y²+2y+3x

El procedimiento es el siguiente:

(5x²-7xy+11y²+4y)+(2x²+3xy-6y²+2y+3x)

5x²-7xy+11y²+4y+2x²+3xy-6y²+2y+3x

7x²-4xy+5y²+6y+3x

Suma de Polinomios en forma vertical

Tomando el ejemplo anterior, 5x²-7xy+11y²+4y + 2x²+3xy-6y²+2y+3x, se deben de separar los términos semejantes e ir colocándolos cada expresión algebraica en una fila y se hace una suma columna por columna, ejemplo:

5x² -7xy +11y² +4y

2x² +3xy -6y² +2y +3x

_____________________________

7x² -4xy +5y² +6y +3x

https://www.youtube.com/watch?v=U7M-nsJtEK8&feature=youtu.be

Actividad 6 de repaso: Realizar Ejercicios de los videos, mas los del link ---> DESCARGAR

Resta de expresiones algebraicas

La diferencia de dos polinomios se obtiene al cambiar el signo de los elementos del sustraendo y después sumar algebraicamente todos los términos.

Por ejemplo:

Restar x²+5x-3y² a 3x²-8x+4xy-5y²

3x²-8x+4xy-5y²-(x²+5x-3y²)

Al cambiar el signo a todo los elementos de x²+5x-3y² aplicando la ley de los signos, se continua con una suma algebraica

3x²-8x+4xy-5y²-x²-5x+3y²

2x²-13x+4xy-2y²

Resta de Polinomios en forma vertical

Tomando el ejemplo anterior, 3x²-8x+4xy-5y² - (x²+5x-3y²) , antes de comenzar con la resta en la segunda expresión se debe de aplicar la ley de los signos:

- (x²+5x-3y²)

Por lo que la expresión quedaría asi:

-x²-5x+3y²

Ahora se deben de separar los términos semejantes e ir colocándolos cada expresión algebraica en una fila y se hace una suma columna por columna, ejemplo:

3x² -8x +4xy -5y²

-x² -5x +3y²

_____________________________

2x² -13x +4xy -2y²

https://www.youtube.com/watch?v=v_enZ1NRuhk&feature=youtu.be

Actividad 7 de repaso: Realizar Ejercicios de los videos, mas los del link ---> DESCARGAR

Multiplicación de expresiones algebraicas

Multiplicación de dos monomios. Para esta operación se debe de aplicar la regla de los signos, los coeficientes se multiplican y las literales cuando son iguales se escribe la literal y se suman los exponentes, si las literales son diferentes se pone cada literal con su correspondiente exponente.

Regla de los signos

Ejemplo:

Multiplicar 3x³y² por 7x⁴

(3x³y²)(7x⁴)

Se realiza de la siguiente forma: los coeficientes se multiplican, el exponente de x es la suma de los exponentes que tiene en cada factor y como y solo esta en uno de los factores se escribe y con su propio exponente.

(3)(7)x³⁺⁴y²

21x⁷y²

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Para esta operación se debe multiplicar el monomio por cada uno de los monomios que forman al polinomio, ejemplo:

3 * (2x³-3x²+4x-2)

(3 * 2x³) + (3 * -3x²) + (3 * 4x) + (3 * -2)

6x³-9x²+12x-6

Multiplicación de un polinomio por otro polinomio

En esta operación debe de multiplicar cada uno de los monomios de un polinomio por todos los monomios del otro polinomio, por ejemplo:

(2x²-3) * (2x³-3x²+4x)

(2x²*2x³) + (2x²*-3x²) + (2x²*4x) + (-3*2x³) + (-3*-3x²) + (-3*4x)

4x⁵-6x⁴+8x³-6x³+9x²-12x

Videos de Apoyo:

Monomio por Monomio Parte 1

Monomio por monomio Parte 2

Monomio por Polinomio Parte 1

Monomio por polinomio Parte 2

Monomio por Polinomio Parte 3

Monomio por polinomio Parte 4

Polinomio por polinomio Parte 1

Polinomio por polinomio Parte 2

Polinomio por polinomio Parte 3

Polinomio por polinomio Parte 4

Varios factores Parte 1

Varios factores Parte 2

Actividad 8 de repaso: Realizar Ejercicios de los videos, mas los del link ---> DESCARGAR

División de expresiones algebraicas

División de dos monomios. En esta operación se vuelve aplicar la regla de los signos, en cuanto a los demás elementos se aplican las siguientes reglas: se dividen los coeficientes, si esto es posible, en cuanto a las literales si hay alguna que este tanto en el numerador como en el denominador, si el exponente del numerador es el mayor se pone la literal en el numerador y al exponente se le resta el exponente de la literal del denominador, en caso contrario se pone la literal en el denominador y a su exponente se le resta el del numerador.

Regla de los signos

Ejemplo:

Dividir 9x³y²entre 3x²w

9x³y²/ 3x²w

9x³y²/ 3x²w = 3xy² / w

División de un polinomio entre un monomio

En esta operación se distribuye el polinomio sobre el monomio, como si fueran una fracción. Por ejemplo:

32x²+20x-12x³ entre 4x

Se coloca el monomio como denominador de el polinomio

32x²+20x-12x³ / 4x

Se separa el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio

(32x² / 4x) + (20x / 4x) - (12x³ / 4x)

Se realizan las divisiones correspondientes entre monomios

8x+5-3x²

División entre polinomios

Es muy parecida a la división algebraica, y se deben de seguir los siguientes pasos:

Se deben de ordenar los polinomios ya sea descendente o ascendente por medio de una misma letra, en caso de que el polinomio no este completo se dejan los espacios correspondientes.
El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.
Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.

Por ejemplo:

Dividir x⁴+3+x-9x² entre x+3