Álgebra Parcial 02: 01 Sucesiones y series

 

Álgebra: Parcial 2:  01 Sucesiones y series

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 Sucesiones y series (aritméticas y geométricas) de números, bosquejando funciones discretas (lineales y exponenciales).

Sucesiones y series numéricas particulares 

¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) en un cierto orden.

 

 

https://www.youtube.com/watch?v=FGoSqeFl5zg

Finita o infinita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita

Ejemplos:

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita

{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos duplicando cada término

{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético

{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

En orden

Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!

Como un conjunto

Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero:

• los términos están en orden (en los conjuntos el orden no importa).
• el mismo valor puede aparecer muchas veces (en los conjuntos solo una vez).

Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s.

El conjunto sería solo {0,1}

Notación

Las secuencias también usan la misma notación que los conjuntos: se enumera cada elemento, separados por una coma, y luego se ponen llaves alrededor de todo.

{3, 5, 7, ...}

Los corchetes { } también se conocen como "llaves".

Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:

xn es el término n es la posición de ese término

Ejemplo: Para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x₅

Entonces podemos escribir una regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:

x_n = 2n+1

Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:

x₁₀ = 2n+1 = 2×10+1 = 21

¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?

Aquí está otro ejemplo:

Ejemplo: Calcula los primeros 4 términos de esta sucesión:

{a_n} = { (-1/n)ⁿ }

Operaciones:

• a₁ = (-1/1)¹ = -1
• a₂ = (-1/2)² = 1/4
• a₃ = (-1/3)³ = -1/27
• a₄ = (-1/4)⁴ = 1/256

Respuesta:

{a_n} = { -1, 1/4, -1/27, 1/256, ... }

La regla

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

¡Pero la regla debería ser una fórmula!

Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:

• 10º término,
• 100º término, o
• n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).

Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).

Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?

Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:

Probamos la regla: 2n

n	Término	Prueba
1	3	2n = 2×1 = 2
2	5	2n = 2×2 = 4
3	7	2n = 2×3 = 6

Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:

Probamos la regla: 2n+1

n	Término	Regla
1	3	2n+1 = 2×1 + 1 = 3
2	5	2n+1 = 2×2 + 1 = 5
3	7	2n+1 = 2×3 + 1 = 7

¡Funciona!

Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como

2n+1

Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º:

2 × 100 + 1 = 201

Pero las matemáticas son tan poderosas que podemos encontrar más de una regla que funcione para cualquier sucesión.

Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...}

Acabamos de mostrar que la regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1

Y obtuvimos: {3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}

¿Pero podemos encontrar otra regla?

¿Qué tal "números impares que no tengan un 1 en sus dígitos"?:

Tendríamos: {3, 5, 7, 9, 23, 25, ...}

¡Una sucesión completamente diferente!

Y podríamos encontrar más reglas que coincidan con {3, 5, 7, 9, ...}. ¡De verdad!

Por lo tanto, es mejor decir "Una regla" en lugar de "La regla" (a menos que sepamos que es la regla correcta).

Para encontrar un número que falta en una sucesión, primero tienes que conocer la regla

Sucesiones Triangular

Esta es la sucesión de números triangulares:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Es simplemente el número de puntos en cada patrón triangular:

Al agregar otra fila de puntos y contar todos los puntos,

podemos encontrar el siguiente número de la sucesión.

• El primer triángulo tiene solo 1 punto.
• El segundo triángulo tiene otra fila con 2 puntos extra, dando un total de 1 + 2 = 3
• El tercer triángulo tiene otra fila con 3 puntos extra, dando un total de 1 + 2 + 3 = 6
• El cuarto tiene 1 + 2 + 3 + 4 = 10
• ¡etc!

¿Cuántos puntos hay en el triángulo 60?

La regla

Podemos establecer una "Regla" para poder calcular cualquier número triangular.

Primero, reorganicemos los puntos de esta manera:

Luego dupliquemos el número de puntos y formemos un rectángulo:

Ahora es fácil calcular cuántos puntos: simplemente multipliquemos  n por n+1

Puntos en el rectángulo = n(n+1)

Pero recuerda que duplicamos el número de puntos, así que

Puntos en el triángulo = n(n+1)/2

Podemos usar x_n para indicar "puntos en el triángulo n", y entonces obtenemos la regla:

Regla: x_n = n(n+1)/2

Ejemplo: el 5to Número Triangular es

x₅ = 5(5+1)/2 = 15

Ejemplo: el 60mo (sexagésimo) es

x₆₀ = 60(60+1)/2 = 1830

¿No fue mucho más fácil usar la fórmula que sumar todos esos puntos?

Ejemplo: estás apilando troncos en forma triangular.

Hay suficiente terreno para colocar 22 troncos uno al lado del otro.

¿Cuántos troncos puedes poner en la pila?

x₂₂ = 22(22+1)/2 = 253

 

La pila puede ser peligrosamente alta, ¡pero puedes meter 253 troncos en ella!

 

https://www.youtube.com/watch?v=hMFLIvvlpiY

Sucesiones cuadráticas

Una sucesión es una correspondencia en la que cada número natural se le asigna un número real. Es decir, para cada posición hay un término de la sucesión. En algunas sucesiones, cuando se calculan las diferencias entre los términos, ésta no es una constante, pero si volvemos a calcular las diferencias de esas primeras diferencias se obtiene un mismo resultado. Cuando esto sucede, se dice que la sucesión es de 2° grado o cuadrática  y su regla tiene la forma:  Para ilustrar lo anterior, veamos el siguiente ejemplo: Tenemos la sucesión 2, 6, 12, 20, 30 si calculamos las primeras diferencias obtenemos:6-2 = 4 ; 12 -6= 6 ; 20-12=8; 30-20=10 sus diferencias no son constantes, es decir no se repite la misma cantidad en todas sus diferencias, entonces este seria el primer nivel. Para el segundo nivel volvemos hacer las diferencias ahora del primer nivel: 4 , 6, 8, 10 obteniendo: 6-4=2; 8 -6=2; 10-8= 2 . Ahora si hay una constante que es 2. Por lo tanto la sucesión es cuadrática. Si queremos encontrar su regla utilizamos el siguiente procedimiento: PASO 1: Calculamos las diferencias del 1er. nivel y del 2° nivel, para nuestro ejemplo ya las tenemos. PASO 2: Utilizamos  la expresión 2a para calcular el valor de a, esta expresión se iguala al valor obtenido para el 1er, término del segundo nivel de diferencias.resolvemos la ecuacióna= 2/2a= 1 PASO 3: Utilizamos la expresión  3a + b para calcular el valor de b y sustituimos el valor obtenido para a. Esta expresión  se iguala con el 1er, término del primer nivel de diferencias.sustituimos a=1(3)(1) + b = 4multiplicamos3 + b = 4despejamos bb= 4 -3b= 1 PASO 4: Utilizamos la expresión a +b+ c para calcular el valor de c y sustituimos los valores obtenidos para a y b. Esta expresión  se iguala con el 1er, término de la sucesión.a +b + c = 2sustituimos a=1 ; b=1 y despejamos c1 + 1 +c = 22 + c = 2c= 2 – 2c= 0 PASO 4:Sustituimos los valores encontrados para a, b y c en la fórmula de la regla.esta es la regla para la sucesión. PASO 5: Comprobamos la regla para los dos primeros términos.   

https://youtu.be/Lizw0a8AIvk

Sucesión aritmética

En una sucesión aritmética, la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.

En otras palabras, simplemente sumamos el mismo valor cada vez ... infinitamente.

Ejemplo:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada número.

El patrón continúa sumando 3 al último número cada vez, así:

En general, podríamos escribir una sucesión aritmética así:

{a, a+d, a+2d, a+3d, ... }

donde:

• a es el primer término, y
• d es la diferencia entre los términos (llamada "diferencia común")

 

Ejemplo: (continuación)

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Tiene:

• a = 1 (el primer término)
• d = 3 (la "diferencia común" entre términos)

Y obtenemos:

{a, a+d, a+2d, a+3d, ... }

{1, 1+3, 1+2×3, 1+3×3, ... }

{1, 4, 7, 10, ... }

 

Regla

Podemos escribir una sucesión aritmética como regla:

x_n = a + d(n−1)

(Usamos "n−1" porque la d no se usa en el 1er término).

Ejemplo. Escribe una regla y calcula el noveno término para esta sucesión aritmética:

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada número.

 

Los valores de a y d son:

• a = 3 (el primer término)
• d = 5 (la "diferencia común")

Usando la regla de sucesión aritmética:

x_n = a + d(n−1)

= 3 + 5(n−1)

= 3 + 5n − 5

= 5n − 2

Entonces el noveno término es:

 x₉ = 5×9 − 2
= 43

¿Está bien? ¡Compruébalo por ti mismo!

 

Las sucesiones aritméticas a veces se llaman progresiones aritméticas.

Tema avanzado: Sumar una serie aritmética

Para sumar los términos de esta sucesión aritmética:

a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) + ...

usa esta fórmula:

¿Cuál es ese símbolo raro? Se llama Notación Sigma

(llamado Sigma) significa "suma"

Y abajo y arriba se muestran los valores iniciales y finales:

Dice "Suma n donde n va de 1 a 4. Respuesta=10

Aquí está cómo usarlo:

Ejemplo: Suma los primeros 10 términos de la sucesión aritmética:

{ 1, 4, 7, 10, 13, ... }

Los valores de a, d y n son:

• a = 1 (el primer término)
• d = 3 (la "diferencia común" entre términos)
• n = 10 (la cantidad de términos a sumar)

Entonces:

Se convierte en:

= 5(2+9·3) = 5(29) = 145

 

Verifica: ¿por qué no sumas los términos tú mismo y ves si realmente el resultado es 145?

Nota al pie: ¿Por qué funciona la fórmula?

Veamos porqué funciona la fórmula, pues podremos usar un "truco" interesante que vale la pena conocer.

Primero, llamaremos a toda la suma "S":

S = a + (a + d) + ... + (a + (n−2)d) + (a + (n−1)d)

Luego, reescribimos S en orden inverso:

S = (a + (n−1)d) + (a + (n−2)d) + ... + (a + d) + a

Ahora sumamos esas dos, término por término:

S	=	a	+	(a+d)	+	...	+	(a + (n-2)d)	+	(a + (n-1)d)
S	=	(a + (n-1)d)	+	(a + (n-2)d)	+	...	+	(a + d)	+	a
2S	=	(2a + (n-1)d)	+	(2a + (n-1)d)	+	...	+	(2a + (n-1)d)	+	(2a + (n-1)d)

¡Cada término es igual! Y hay "n" de ellos, así que ...

2S = n × (2a + (n−1)d)

Ahora, tan solo dividimos entre 2 y obtenemos:

S = (n/2) × (2a + (n−1)d)

Que es nuestra fórmula:

Sucesiones geométricas

En una sucesión geométrica, cada término se encuentra multiplicando el término anterior por una constante.

Ejemplo:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesión tiene un factor de 2 entre cada número.

Cada término (excepto el primer término) se encuentra multiplicando el término anterior por 2.

 

En general, escribimos una sucesión geométrica como esta:

{a, ar, ar², ar³, ... }

donde:

• a es el primer término y
• r es el factor entre los términos (llamado "cociente común"o "razón")

 

Ejemplo: {1,2,4,8,...}

La sucesión comienza en 1 y se duplica cada vez, así que

• a=1 (el primer término)
• r=2 (la "razón" entre los términos, que en este caso es duplicar)

Y obtenemos:

{a, ar, ar², ar³, ... }

= {1, 1×2, 1×2², 1×2³, ... }

= {1, 2, 4, 8, ... }

 

Pero ten cuidado, r no debe ser 0:

• Cuando r=0, obtenemos la sucesión {a, 0,0, ...}, la cual no es geométrica

La regla

También podemos calcular cualquier término usando la regla:

x_n = ar^(n-1)

(Se utiliza "n-1" porque ar⁰ representa al primer término)

 

Ejemplo:

10, 30, 90, 270, 810, 2430, ...

Esta sucesión tiene un factor de 3 entre cada número.

Los valores de a y r son:

• a = 10 (el primer término)
• r = 3 (la "razón" entre los términos)

La regla para cualquier término es:

x_n = 10 × 3^(n-1)

Así, el 4to término es:

x₄ = 10×3^(4-1) = 10×3³ = 10×27 = 270

Y el 10mo término es:

x₁₀ = 10×3^(10-1) = 10×3⁹ = 10×19683 = 196830

 

Una sucesión geométrica también puede tener valores cada vez más pequeños:

Ejemplo:

4, 2, 1, 0,5, 0,25, ...

Esta sucesión tiene un factor de 0,5 (la mitad) entre cada número.

Su regla es x_n = 4 × (0,5)^n-1

¿Por qué se llama sucesión "geométrica"?

Porque es como aumentar las dimensiones en geometría:

	una línea es unidimensional y tiene una longitud de r
	en 2 dimensiones un cuadrado tiene un área de r2
	en 3 dimensiones un cubo tiene volumen r3
	etc (sí, podemos tener 4 y más dimensiones en matemáticas).

 

Las sucesiones geométricas a veces se llaman progresiones geométricas.

Sumando una sucesión geométrica

Para sumar esto:

a + ar + ar² + ... + ar^(n-1)

(Cada término es ar^k, donde k comienza en 0 y sube hasta n-1)

Podemos usar esta práctica fórmula:

a es el primer término
r es la "razón" entre términos
n es el número de términos

¿Cuál es ese símbolo raro? Se llama Notación Sigma

(llamado Sigma) significa "suma"

Y abajo y arriba se muestran los valores iniciales y finales:

Dice "Suma n donde n va de 1 a 4. Respuesta=10

La fórmula es fácil de usar ... simplemente "pon" los valores de a, r y n

Ejemplo: Suma los primeros 4 términos de

10, 30, 90, 270, 810, 2430, ...

Esta sucesión tiene un factor de 3 entre cada número.

 

Los valores de a, r y n son:

• a = 10 (el primer término)
• r = 3 (la razón común)
• n = 4 (queremos sumar los primeros 4 términos)

Entonces:

Se convierte en:

Puedes verificarlo tú mismo:

10 + 30 + 90 + 270 = 400

Y sí, es más fácil sumarlos en este ejemplo, ya que solo hay 4 términos. Pero imagina sumar 50 términos ... entonces la fórmula es mucho más fácil.

Usando la fórmula

Veamos la fórmula en acción:

Ejemplo: granos de arroz en un tablero de ajedrez

En la página Dígitos Binarios vemos un ejemplo de granos de arroz en un tablero de ajedrez. Se hace la pregunta:

Cuando colocamos arroz en un tablero de ajedrez:

• 1 grano en el primer cuadrado,
• 2 granos en el segundo cuadrado,
• 4 granos en el tercero y así sucesivamente,
• ...

... duplicamos los granos de arroz en cada cuadro ...

... ¿cuántos granos de arroz habrá en total?

Entonces se tiene:

• a = 1 (el primer término)
• r = 2 (duplicamos cada vez)
• n = 64 (64 cuadrados en un tablero de ajedrez)

Entonces:

Se convierte en:

 

= 1−2⁶⁴−1 = 2⁶⁴ − 1

= 18.446.744.073.709.551.615

Que es exactamente el resultado que obtuvimos en la página de Dígitos Binarios (¡gracias al cielo!)

Y otro ejemplo, esta vez con r menor que 1:

Ejemplo: Suma los primeros 10 términos de la sucesión geométrica que se reduce a la mitad cada vez:

{ 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... }

Los valores de a, r y n son:

• a = ½ (el primer término)
• r = ½ (se parte a la mitad cada vez)
• n = 10 (10 términos a sumar)

Entonces:

Se convierte en:

Muy cerca de 1.

(Pregunta: si seguimos aumentando n, ¿qué ocurre?)

¿Por qué funciona la fórmula?

Veamos porqué funciona la fórmula, pues podremos usar un "truco" interesante que vale la pena conocer.

Primero, llamemos "S" a toda la suma:  S = a + ar + ar² + ... + ar⁽ⁿ⁻²⁾+ ar⁽ⁿ⁻¹⁾

Después, multiplica S por r:S·r = ar + ar² + ar³ + ... + ar⁽ⁿ⁻¹⁾ + arⁿ

¿Te das cuenta que S y S·r son similares?

¡Ahora réstalos!

¡Guauu! Todos los términos en el medio se cancelan perfectamente.
(Lo cual es un buen truco)

Entonces, si restamos S·r de S obtenemos un resultado simple:

S − S·r = a − arⁿ

Vamos a reorganizarlo para encontrar S:

Factorizamos S y a:S(1−r) = a(1−rⁿ)

Dividimos entre (1−r):S = a(1−rⁿ)(1−r)

Que es nuestra fórmula (¡ta-da!):

 

Infinite Geometric Series

¿Qué ocurre cuando n va hasta infinito?

Podemos usar esta fórmula:

Pero sé cuidadoso:

r debe estar entre (pero sin incluir) −1 y 1

y r no debería ser 0 porque la sucesión {a, 0,0, ...} no es geométrica

Entonces, nuestra serie geométrica infinita tiene una suma finita cuando la razón común es menor que 1 (y mayor que −1)

Volvamos a nuestro ejemplo anterior y veamos qué sucede:

Ejemplo: Suma TODOS los términos de la sucesión geométrica que se reduce a la mitad cada vez:

{ 12, 14, 18, 116, ... }

Tenemos:

• a = ½ (el primer término)
• r = ½ (se parte a la mitad cada vez)

Así que:

= ½×1½ = 1

Sí, sumar 12 + 14 + 18 + ...etc es exactamente 1.

¿No me crees? Solo mira este cuadrado: Sumando 12 + 14 + 18 + ... ¡Logramos abarcarlo todo!

Decimal recurrente

En otro artículo preguntamos "¿Es verdad que 0,999... es igual a 1?", bueno, veamos si podemos calcularlo:

Ejemplo: Calcula 0,999...

Podemos escribir un decimal recurrente mediante una suma como esta:

Y ahora podemos usar la fórmula:

 

¡Sí! 0,999... sí es igual a 1.

 

Así que ahí lo tenemos ... Las sucesiones geométricas (y sus sumas) pueden hacer todo tipo de cosas asombrosas y poderosas.

Números triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

La Sucesión Triangular se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.

Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.

Pero es más fácil usar la regla:

x_n = n(n+1)/2

Ejemplo:

• El quinto número triangular es x₅ = 5(5+1)/2 = 15,
• y el sexto es x₆ = 6(6+1)/2 = 21

Números cuadrados

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición en la sucesión.

La regla es x_n = n²

https://www.youtube.com/watch?v=wuj2IzxRHdc

Series y sumas parciales

 ¿Qué es una serie numérica?

Una serie numérica es una secuencia de números ordenados, llamados términos, entre los cuales hay una relación que hay que descubrir, para completar la serie.

Por ejemplo, en la serie 0 - 7 - 14 - 21 existe una relación: el número 7. Esto quiere decir que para seguir la secuencia, solo debemos sumar el número 7 al último valor presentado, el 21. 

 

 

 

Aquí podrás ver más ejemplos:

- 5 - 10 - 15 - 20 - 25 - 30. La relación va de 5  en 5

- 10 - 20 - 30 - 40 - 50. La relación va de 10 en 10

- 15 - 12 - 9 - 6 - 3 - 0. La relación va de 3 en 3, pero en este caso de mayor a menor

Ahora que ya conoces las sucesiones, el siguiente tema por aprender es cómo sumarlas. 

Cuando sumamos solo una parte de la sucesión decimos que hacemos una suma parcial.

Pero una suma de una sucesión infinita se llama "serie" (parece como si fuera otro nombre para las sucesiones, pero en realidad es una suma). Lee Series Infinitas.

Ejemplo: Números impares

Sucesión: {1, 3, 5, 7, ...}

Serie: 1 + 3 + 5 + 7 + ...

Suma parcial de los primeros tres términos: 1 + 3 + 5

ACTIVIDAD 1

Los estudiantes individualmente realizaran un resumen en la libreta de apuntes y en equipo de 5, realizaran  una presentación (PowerPoint o Prezzi) para exposición y resolverán los ejercicios del siguiente link:

NOTA:

Por dificultades técnicas que hay con la plataforma para recibir las actividades se realizara de la siguiente manera:

1.   Seguir instrucciones del video:

Agregar al grupo y curso

Código de acceso al grupo:

Da click al grupo que te corresponda:

1AM - KQ6Z-ZZG9-M5RDM

1BM - Q3D3-S2B2-KNDRV

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CODIGO DEL CURSO

1AM - RZFJ-9P8T-ZR83F

1BM - HJ9S-S7DP-F3CTM

1CM - JDBB-7S3Q-PKKX8

1DM - 3QCB-T89P-WC5X2

2. El archivo o documento que enviaran tendrá la siguiente nomenclatura: 

Grupo_Actividad#_PrimerApellido_PrimerNombre. 

     Es ejemplo:  1ZM_Actividad1_Ponce_Juan

"NO PONER MIS DATOS, SON LOS DE USTEDES"

    Este archivo debe estar en formato .pdf y fecha limite de entrega Domingo 8/11/2020 11:00 pm.

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